Основные свойства функций. Свойства функций — Гипермаркет знаний Как выяснить является ли функция ограниченной
Теорема о пределе монотонной функции. Приводится доказательство теоремы, используя два метода. Также даны определения строго возрастающей, неубывающей, строго убывающей и невозрастающей функций. Определение монотонной функции.
СодержаниеФункция не ограничена сверху
1.1. Пусть число b
конечное: .
1.1.2. Пусть функция не ограничена сверху.
.
при .
Обозначим .
Тогда для любого существует ,
так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b
равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов функции в конечной точке»).
b рано плюс бесконечности
Функция ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2.1. Пусть функция ограничена сверху числом M
:
при .
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
;
для любого положительного существует такой аргумент ,
для которого
.
Поскольку функция не убывает, то при .
Тогда при .
Или
при .
Итак, мы нашли, что для любого существует число ,
так что
при .
«Определения односторонних пределов на бесконечности»).
Функция не ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b
равно плюс бесконечности: .
1.2.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M
существует такой аргумент ,
для которого
.
Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при .
Итак, для любого существует число ,
так что
при .
Это означает, что предел при равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов на бесконечности»).
Функция не возрастает
Теперь рассмотрим случай, когда функция не возрастает. Можно, как и выше, рассмотреть каждый вариант по отдельности. Но мы охватим их сразу. Для этого используем . Докажем, что в этом случае существует предел .
Рассмотрим конечную нижнюю грань множества значений функции:
.
Здесь B
может быть как конечным числом, так и бесконечно удаленной точкой .
Согласно определению точной нижней грани, выполняются следующие условия:
;
для любой окрестности точки B
существует такой аргумент ,
для которого
.
По условию теоремы, .
Поэтому .
Поскольку функция не возрастает, то при .
Поскольку ,
то
при .
Или
при .
Далее замечаем, что неравенство определяет левую проколотую окрестность точки b
.
Итак, мы нашли, что для любой окрестности точки ,
существует такая проколотая левая окрестность точки b
,
что
при .
Это означает, что предел слева в точке b
равен :
(см. универсальное определение предела функции по Коши).
Предел в точке a
Теперь покажем, что существует предел в точке a и найдем его значение.
Рассмотрим функцию . По условию теоремы, функция является монотонной при . Заменим переменную x на - x (или сделаем подстановку , а затем заменим переменную t на x ). Тогда функция является монотонной при . Умножая неравенства на -1 и меняя их порядок приходим к выводу, что функция является монотонной при .
Аналогичным способом легко показать, что если не убывает, то не возрастает. Тогда согласно доказанному выше, существует предел
.
Если не возрастает, то не убывает. В этом случае существует предел
.
Теперь осталось показать, что если существует предел функции при ,
то существует предел функции при ,
и эти пределы равны:
.
Введем обозначение:
(1)
.
Выразим f
через g
:
.
Возьмем произвольное положительное число .
Пусть есть эпсилон окрестность точки A
.
Эпсилон окрестность определяется как для конечных, так и для бесконечных значений A
(см. «Окрестность точки»). Поскольку существует предел (1), то, согласно определению предела, для любого существует такое ,
что
при .
Пусть a
- конечное число. Выразим левую проколотую окрестность точки -a
,
используя неравенства:
при .
Заменим x
на -x
и учтем, что :
при .
Последние два неравенства определяют проколотую правую окрестность точки a
.
Тогда
при .
Пусть a
- бесконечное число, .
Повторяем рассуждения.
при ;
при ;
при ;
при .
Итак, мы нашли, что для любого существует такое ,
что
при .
Это означает, что
.
Теорема доказана.
См. также:Обратите внимание: во всех определениях фигурирует числовое множество X, являющееся частью области определения функции: X с D(f). На практике чаще всего встречаются случаи, когда X - числовой промежуток (отрезок, интервал, луч и т.д.).
Определение 1.
Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве X с D(f), если для любых двух точек х 1 и х 2 множества X, таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).
Определение 2.
Функцию у = f(х) называют убывающей на множестве X с D(f), если для любых монотонность двух точек х 1 и х 2 множества X, таких, что х 1 < х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) > f(x 2).
На практике удобнее пользоваться следующими формулировками: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
В 7-м и 8-м классах мы использовали следующее геометрическое истолкование понятий возрастания или убывания функции: двигаясь по графику возрастающей функции слева направо, мы как бы поднимаемся в горку (рис. 55); двигаясь по графику убывающей функции слева направо, как бы спускаемся с горки (рис. 56).
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция » объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.
Отметим еще одно обстоятельство: если функция возрастает (или убывает) в своей естественной области определения, то обычно говорят, что функция возрастающая (или убывающая) - без указания числового множества X.
Пример 1.
Исследовать на монотонность функцию:
а)
у = х 3 + 2; б) у = 5 - 2х.
Решение:
а) Возьмем произвольные значения аргумента х 1 и х 2 и пусть х 1 <х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:
Последнее неравенство означает, что f(х 1) < f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).
Итак, из х 1 < х 2 следует f(х 1) > f(х 2), а это означает, что заданная функция убывает (на всей числовой прямой).
Определение 3.
Функцию у - f(х) называют ограниченной снизу на множестве X с D (f), если все значения функции на множестве X больше некоторого числа (иными словами, если существует число m такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) >m).
Определение 4.
Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве X с D (f), если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число М такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) < М).
Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об ограниченности функции снизу или сверху во всей области определения.
Если функция ограничена и снизу, и сверху, то ее называют ограниченной.
Ограниченность функции легко прочитывается по ее графику : если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = т (рис. 57); если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = М (рис. 58).
Пример 2.
Исследовать на ограниченность функцию
Решение.
С одной стороны, вполне очевидно неравенство (по определению квадратного корня Это означает, что функция ограничена снизу. С другой стороны, имеем а потому
Это означает, что функция ограничена сверху. А теперь посмотрите на график заданной функции (рис. 52 из предыдущего параграфа). Ограниченность функции и сверху, и снизу прочитывается по графику достаточно легко.
Определение 5.
Число m называют наименьшим значением функции у = f(х) на множестве X С D(f), если:
1) в Х существует такая точка х 0 , что f(х 0) = m;
2) для всех x из X выполняется неравенство m>f(х 0).
Определение 6.
Число М называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X С D(f), если:
1) в Х существует такая точка х 0 , что f(x 0) = М;
2) для всех x из X выполняется неравенство
Наименьшее значение функции мы обозначали и в 7-м, и в 8-м классах символом у, а наибольшее - символом у.
Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об отыскании наименьшего или наибольшего значения функции во всей области определения.
Достаточно очевидны следующие полезные утверждения:
1) Если у функции существует Y, то она ограничена снизу.
2) Если у функции существует Y, то она ограничена сверху.
3) Если функция не ограничена снизу, то Y не существует.
4) Если функция не ограничена сверху, то Y не существует.
Пример 3.
Найти наименьшее и наибольшее значения функции
Решение.
Достаточно очевидно, особенно если прибегнуть к помощи графика функции (рис. 52), что = 0 (этого значения функция достигает в точках х = -3 и х = 3), а = 3 (этого значения функция достигает в точке х = 0.
В 7-м и 8-м классах мы упоминали еще два свойства функций. Первое назвали свойством выпуклости функции. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке X, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 59). непрерывность Функция выпукла вверх на промежутке X, если, функции соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 60).
Второе свойство - непрерывность функции на промежутке X - означает, что график функции на промежутке X - сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.
Замечание.
На самом деле в математике все обстоит, как говорится, «с точностью до наоборот»: график функции изображается в виде сплошной линии (без проколов и скачков) только тогда, когда доказана непрерывность функции. Но формальное определение непрерывности функции, достаточно сложное и тонкое, нам пока не по силам. То же самое можно сказать и о выпуклости функции. Обсуждая указанные два свойства функций, будем по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления.
А теперь проведем смотр наших знаний. Вспомнив о тех функциях, которые мы с вами изучали в 7-м и 8-м классах, уточним, как выглядят их графики, и перечислим свойства функции, придерживаясь определенного порядка, например такого: область определения; монотонность; ограниченность; , ; непрерывность; область значений; выпуклость.
Впоследствии появятся новые свойства функций, соответственно будет меняться и перечень свойств.
1. Постоянная функция у = С
График функции у = С изображен на рис. 61 - прямая, параллельная оси х. Это настолько неинтересная функция, что нет смысла перечислять ее свойства.
Графиком функции у = кх + m является прямая (рис. 62, 63).
Свойства функции у = кх + m:
1) 
2) возрастает, если к > 0 (рис. 62), убывает, если к < 0 (рис. 63);
4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
5) функция непрерывна;
6) 
7) о выпуклости говорить не имеет смысла.
Графиком функции у = кх 2 является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх, если к > О (рис. 64), и вниз, если к < 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.
Свойства функции у - кх 2:
Для случая к> 0 (рис. 64):
1) D(f) = (-оо,+оо);
4) = не существует;
5) непрерывна;
6) Е(f) = функция убывает, а на промежутке , убывает на луче ;
7) выпукла вверх.
График функции у = f(х) строится по точкам; чем больше точек вида (х; f(х)) мы возьмем, тем более точное представление о графике получим. Если этих точек взять достаточно много, то и представление о графике сложится более полное. Именно в этом случае интуиция и подсказывает нам, что график надо изобразить в виде сплошной линии (в данном случае в виде параболы). А уж затем, читая график, мы делаем выводы о непрерывности функции, о ее выпуклости вниз или вверх, об области значений функции. Вы должны понимать, что из перечисленных семи свойств «законными» являются лишь свойства 1), 2), 3), 4) - «законными» в том смысле, что мы в состоянии обосновать их, ссылаясь на точные определения. Об остальных свойствах у нас имеются только наглядно-интуитивные представления. Кстати, в этом нет ничего плохого. Из истории развития математики известно, что человечество часто и долго пользовалось различными свойствами тех или иных объектов, не зная точных определений. Потом, когда такие определения удавалось сформулировать, все становилось на свои места. 
Графиком функции является гипербола, оси координат служат асимптотами гиперболы (рис. 66, 67).
1) D(f) = (-00,0)1U (0,+оо);
2) если к > 0, то функция убывает на открытом луче (-оо, 0) и на открытом луче (0, +оо) (рис. 66); если к < 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) не ограничена ни снизу, ни сверху;
4) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
5) функция непрерывна на открытом луче (-оо, 0) и на открытом луче (0, +оо);
6) Е(f) = (-оо,0) U (0,+оо);
7) если к > 0, то функция выпукла вверх при х < 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х > 0, т.е. на открытом луче (0, +оо) (рис. 66). Если к < 0, то функция выпукла вверх при х > О и выпукла вниз при х < О (рис. 67).
Графиком функции является ветвь параболы (рис. 68). Свойства функции :
1) D(f) = , возрастает на луче . На этом отрезке $16-x^2≤16$ или $\sqrt{16-x^2}≤4$, но это значит ограниченность сверху.
Ответ: наша функция ограниченна двумя прямыми $у=0$ и $у=4$.
Наибольшее и наименьшее значение
Наименьшим значение функции y= f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое, что:
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≥f(x0)$.
Наибольшим значение функции y=f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≤f(x0)$.
Наибольшее и наименьшее значение принято обозначать y наиб. и y наим. .
Понятия ограниченности и наибольшего с наименьшим значением функции тесно связаны. Выполняются следующие утверждения:
а) Если существует наименьшее значение у функции, то она ограничена снизу.
б) Если существует наибольшее значение у функции, то она ограничена сверху.
в) Если функция не ограничена сверху, то наибольшего значения не существует.
г) Если функция не ограничена снизу, то наименьшего значения не существует.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=\sqrt{9-4x^2+16x}$.
Решение: $f(x)=y=\sqrt{9-4x^2+16x}=\sqrt{9-(x-4)^2+16}=\sqrt{25-(x-4)^2}≤5$.
При $х=4$ $f(4)=5$, при всех остальных значениях функция принимает меньшие значения или не существует, то есть это наибольшее значение функции.
По определению: $9-4x^2+16x≥0$. Найдем корни квадратного трехчлена $(2х+1)(2х-9)≥0$. При $х=-0,5$ и $х=4,5$ функция обращается в ноль, во всех остальных точках она больше нуля. Тогда, по определению, наименьшее значению функции равно нулю.
Ответ: y наиб. =5 и y наим. =0.
Ребята мы с вами еще изучали понятия выпуклости функции. При решении некоторых задач, нам это свойство может понадобиться. Это свойство, также легко определяется с помощью графиков.
Функция выпукла вниз, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется ниже линии соединения точек.
Функция выпукла вверх, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется выше линии соединения точек.
Функция непрерывна, если график нашей функции не имеет разрывов, например, как график функции выше.
Если требуются найти свойства функции, то последовательность поиска свойств такова:
а) Область определения.
б) Монотонность.
в) Ограниченность.
г) Наибольшее и наименьшее значение.
д) Непрерывность.
е) Область значений.
Найти свойства функции $y=-2x+5$.
Решение.
а) Область определения D(y)=(-∞;+∞).
б) Монотонность. Проверим для любых значений х1 и х2 и пусть х1 < x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Поскольку х1 < x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
в) Ограниченность. Очевидно, что функция не ограничена.
г) Наибольшее и наименьшее значение. Поскольку функция не ограничена, то наибольшего и наименьшего значений не существует.
д) Непрерывность. График нашей функции не имеет разрывов, тогда функция непрерывна.
е) Область значений. Е(у)=(-∞;+∞).
Задачи на свойства функции для самостоятельного решения
Найти свойства функции:а) $y=2x+7$,
б) $y=3x^2$,
в) $y=\frac{4}{x}$.
Будем называть функцию y=f(x) ОГРАНИЧЕННОЙ СВЕРХУ (СНИЗУ) на множестве А из области определения D(f), если существует такое число M , что для любых x из этого множества выполняется условие
При помощи логических символов определение может быть записано в виде:
f (x) – ограничена сверху на множестве
(f (x) – ограничена снизу на множестве
Вводятся в рассмотрение и функции, ограниченные по модулю или просто ограниченные.
Будем называть функцию ОГРАНИЧЕННОЙ на множестве А из области определения , если существует положительное число M, что
На языке логических символов
f(x) – ограничена на множестве
Функция, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной. Мы знаем, что определения, данные через отрицание, малосодержательны. Чтобы сформулировать это утверждение как определение, воспользуемся свойствами кванторных операций (3.6) и (3.7). Тогда отрицание ограниченности функции на языке логических символов даст:
f(x) – ограничена на множестве
Полученный результат позволяет сформулировать следующее определение.
Функция называется НЕОГРАНИЧЕННОЙ на множестве А, принадлежащем области определения функции, если на этом множестве для любого положительного числа М найдется такое значение аргумента х, что значение все равно превзойдет величину М, то есть .
В качестве примера рассмотрим функцию
Она определена на всей действительной оси. Если взять отрезок [–2;1] (множество А), то на нем она будет ограничена и сверху, и снизу.
Действительно, чтобы показать ее ограниченность сверху, надо рассмотреть предикат
и показать, что найдется (существует) такое М, что для всех x, взятых на отрезке [–2;1], будет справедливо
Найти такое М не представляет труда. Можно считать М = 7, квантор существования предполагает отыскание хотя бы одного значения М. Наличие такого М и подтверждает тот факт, что функция на отрезке [–2;1] ограничена сверху.
Чтобы доказать ее ограниченность снизу, надо рассмотреть предикат
Значением М, обеспечивающим истинность данного предиката, является, например, М = –100.
Можно доказать, что функция будет ограничена и по модулю: для всех x из отрезка [–2;1] значения функции совпадают со значениями , поэтому в качестве М можно взять, к примеру, прежнее значение М = 7.
Покажем, что та же функция, но на промежутке , будет неограниченной, то есть
Чтобы показать, что такие x существуют, рассмотрим утверждение
Отыскивая искомые значения x среди положительных значений аргумента, получим
Это значит, что какое бы положительное Ммы ни брали, значения x, обеспечивающие выполнение неравенства
получаются из соотношения .
Рассматривая функцию на всей действительной оси, можно показать, что она неограничена по модулю.
Действительно, из неравенства
То есть, каким бы большим ни было положительное M, или обеспечат выполнение неравенства .
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ.
Функция имеет в точке с локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность этой точки, что для x ¹с из этой окрестности выполняется неравенство
особо, что точка экстремума может быть только внутренней точкой промежутка и f(x) в ней должна быть обязательно определена. Возможные случаи отсутствия экстремума изображены на рис. 8.8.
Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке иубывает (возрастает) на некотором промежутке , то точка с является точкой локального максимума (минимума).
Отсутствие максимума функции f(x) в точке с можно сформулировать так:
_______________________
f(x) имеет максимум в точке c
Это означает, что если точка c не есть точка локального максимума, то какой бы ни была окрестность, включающая в себя точку cкак внутреннюю, в ней найдется хотя бы одно значение x не равное c, при котором . Таким образом, если в точке c нет максимума, то в этой точке экстремума может не быть вообще или же это точка минимума (рис. 8.9).
Понятие экстремума дает сравнительную оценку значения функции в какой-либо точке по отношению к близлежащим. Подобное сравнение значений функций можно провести и для всех точек некоторого промежутка.
НАИБОЛЬШИМ (НАИМЕНЬШИМ) значением функции на множестве будем называть ее значение в точке из этого множества такое, что– при . Наибольшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка , а наименьшее – на его левом конце.
Чтобы определить наибольшее (наименьшее) значение функции, заданной на отрезке, надо среди всех значений ее максимумов (минимумов), а также значений, принимаемых на концах промежутка, выбрать наибольшее (наименьшее) число. Оно и будет наибольшим (наименьшим) значением функции. Это правило будет уточнено в дальнейшем.
Проблема отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на открытом промежутке не всегда решается достаточно легко. Например, функция
в интервале (рис. 8.11) их не имеет.
Убедимся, например, что эта функция не имеет наибольшего значения. В самом деле, учитывая монотонность функции , можно утверждать, что как бы близко мы ни задавали слева от единицы значения х, найдутся другие х, в которых значения функции будут больше ее значений во взятых фиксированных точках, но все же меньше единицы.
